题目内容
【题目】如图所示,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-时,切线MA的斜率为-
.
(1)求p的值;
(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).
【答案】(1)2 (2) x2=y
【解析】解:(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=,且切线MA的斜率为-
,
所以A点坐标为.
故切线MA的方程为y=-(x+1)+
.
因为点M(1-y0)在切线MA及抛物线C2上,于是
y0=-(2-
)+
=-
, ①
y0=-=-
. ②
由①②得p=2.
(2)设N(x,y),A,B
,
x1≠x2,由N为线段AB中点知
x=, ③
y=. ④
切线MA,MB的方程为
y=(x-x1)+
, ⑤
y=(x-x2)+
. ⑥
由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为
x0=,y0=
.
因为点M(x0,y0)在C2上,
即=-4y0,
所以x1x2=-. ⑦
由③④⑦得
x2=y,x≠0.
当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=y.
因此AB中点N的轨迹方程为x2=y.

【题目】已知椭圆的中心在坐标原点
,焦点在
轴上,椭圆
的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,且椭圆
上任意一点到两个焦点的距离之和为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆
相交于
两点,求
面积的最大值.
【题目】王府井百货分店今年春节期间,消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动,随着抽奖活动的有效开展,参与抽奖活动的人数越来越多,该分店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计, 表示第
天参加抽奖活动的人数,得到统计表格如下:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
5 | 8 | 8 | 10 | 14 | 15 | 17 |
经过进一步统计分析,发现与
具有线性相关关系.
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(2)判断变量与
之间是正相关还是负相关;
(3)若该活动只持续10天,估计共有多少名顾客参加抽奖.
参与公式: ,
,
.