Question

（2007•长宁区一模）设直线l的方程为y=kx-1，等轴双曲线C：x²-y²=a²（a＞0）的中心在原点，右焦点坐标为（ 

2

，0）．
（1）求双曲线方程；
（2）设直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B，记AB中点为M，求k的取值范围，并用k表示M点的坐标．
（3）设点Q（-1，0），求直线QM在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由右焦点坐标为（ 

2

，0），可求出c的值，又因为等轴双曲线中a，b相等，利用双曲线中a，b，c的关系，就可求出a值，的到双曲线方程．
（2）联立直线与双曲线方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，因为直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B，所以方程有两不同正根，△＞0，x₁+x₂＞0，x₁x₂＞0，据此就可求出k的范围．并用含k的式子表示M点坐标．
（3）利用两点式求出直线QM的方程，求出纵截距，用含k的式子表示，根据（2）中所求k的范围，即可得到纵截距的范围．

解答：解：（1）由条件c=

2

，∵c²=a²+b²=2a²，∴a=1，
所以双曲线方程为x²-y²=1．                    
（2）由

y=kx-1 x2-y2=1

得（1-k²）x²+2kx-2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因此

1-k2≠0 △=4k2+8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 ＞0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

解得

1＜k2＜2 k＞0

，因此k∈（1，

2

）
并且

x1+x2

2

=

k

k2-1

∴

y1+y2

2

=k•

k

k2-1

-1=

1

k2-1

，
所以M(

k

k2-1

，

1

k2-1

)．                            
（3）直线MQ的方程为y=

1 k2-1

k k2-1 +1

(x+1)，
令x=0，得y=

1

k2+k-1

=

1

(k+ 1 2 )2- 5 4

，
∵k∈(1，

2

)∴(k+

1

2

)2-

5

4

∈(1，

2

+1)，∴y∈(

2

-1，1)

点评：本题主要考查了双曲线方程的求法，以及直线与双曲线相交，交点个数的判断．