题目内容
【题目】已知奇函数.
(1)试确定的值;
(2)判断的单调性,并证明之
(3)若方程在
上有解,求证:
.
【答案】(1).(2)见解析;(3)见解析.
【解析】
试题分析:
(1)利用奇函数满足,或者利用奇函数过坐标原点可求得
.
(2)结合(1)中的结论可得在
上是增函数.留言单调性的定义,任取
,且
,计算可得
,即函数
在
上是增函数.
(3)由题意,原问题即在
上有解,则
结合函数的单调性可得
,,求解不等式则有
.
试题解析:
(1)(定义法)∵是奇函数,
∴,
即,
化简整理得.
∵,∴
,即
.
(特殊值法) ∵在
上是奇函数,
∴,即
.
∴.
(2)解: 在
上是增函数.证明如下:
由可知,
.
任取,且
,则
.
∴
,
∴函数在
上是增函数.
(3)证明:∵时,
,
∴.
若方程,即
在
上有解,则
∵在
上是增函数,
∴,
即,
∴,故
.
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