Question

【题目】对于函数y＝H(x)，若在其定义域内存在x0，使得x0·H(x0)＝1成立，则称x0为函数H(x)的“倒数点”．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝(x＋1)2－1.

(1)求证：函数f(x)有“倒数点”，并讨论函数f(x)的“倒数点”的个数；

(2)若当x≥1时，不等式xf(x)≤m[g(x)－x]恒成立，试求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）[1，＋∞).

【解析】

（1）构造函数 (x>0)，转化为研究该函数的零点问题即可；

（2）对不等式进行转化得2x·ln x≤m(x2－1)，当x≥1时恒成立，构造函数，x≥1，通过求导分析函数的单调性最值求参数范围即可.

(1)证明　设h(x)＝ln x－ (x>0)，则h′(x)＝＋>0(x>0)，所以h(x)在(0，＋∞)为单调递增函数．

而h(1)<0，h(e)>0，

所以函数h(x)有零点且只有一个零点．

所以函数f(x)有“倒数点”且只有一个“倒数点”．

(2)xf(x)≤m[g(x)－x]等价于2x·ln x≤m(x2－1)，

设d(x)＝2ln x－m，x≥1.

则，x≥1，

易知－mx2＋2x－m＝0的判别式为Δ＝4－4m2.

①当m≥1时，d′(x)≤0，d(x)在[1，＋∞)上单调递减，d(x)≤d(1)＝0，符合题意；

②当0<m<1时，方程－mx2＋2x－m＝0有两个正根且0<x1<1<x2，则函数d(x)在(1，x2)上单调递增，此时d(x)>d(1)＝0，不合题意；

③当m＝0时，d′(x)>0，d(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时d(x)>d(1)＝0，不合题意；

④当－1<m<0时，方程－mx2＋2x－m＝0有两个负根，d(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时d(x)>d(1)＝0，不合题意；

⑤当m≤－1时，d′(x)≥0，d(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时d(x)>d(1)＝0，不合题意．

综上，实数m的取值范围是[1，＋∞)．