Question

已知定义域为R的函数f(x)=

1-3x

a+3x+1

（1）a=1，求证函数f（x）不是奇函数．
（2）若此函数是奇函数，
    ①若在[-1，2]上存在m，使

2

3

ak+4m＞2m2+6成立，求k的取值范围．
    ②对任意的x∈R⁺，不等式f[m(log3x)2+1]+f[-m(log3x)-2]＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性的定义进行证明．
（2）根据函数奇偶性的应用和函数单调性之间的关系解不等式．

解答：解：（1）a=1时，f(x)=

1-3x

1+3x+1

，
∵f（-1）=

1

3

，f（1）=

1-3

1+9

=-

2

10

=-

1

5

，
∴f（-1）≠-f（1），
∴f（x）不是奇函数．
（2）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f(-x)=

1-3-x

a+3-x+1

=

3x-1

3+a?3x

=-

1-3x

a+3x+1

，
∴a=3．
①据题意得：在[-1，2]上存在m，使

2

3

ak+4m＞2m2+6成立，
即2k＞2m²+6-4m，
∴k＞m²-2m+3在m∈[-1，2]上成立，
设g（m）=m²-2m+3=（m-1）²+2，
则k＞[g（x）]_min
∵-1≤m≤2，
∴2≤g（m）≤6，
∴在[-1，2]上存在m，使

2

3

ak+4m＞2m2+6成立，
则k＞2．
②令t=log?₃x，x＞0，
∴原不等式等价为f（mt²+1）＞-f（-mt-2），
∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即不等式等价为f（mt²+1）＞-f（-mt-1）＞f（mt+2），
当a=3时，f(x)=

1-3x

3+3x+1

=-

1

3

+

2

3

?

1

3x+1

，
∵y=3^x+1单调递增且y＞0，
∴y=

2

3

?

1

3x+1

在R上单调递减，
∴函数f(x)=

1-3x

3+3x+1

=-

1

3

+

2

3

?

1

3x+1

在R上单调递减，
∴不等式等价为mt²+1＜mt+2恒成立
即mt²-mt-1＜0恒成立．
讨论：①m=0，-1＜0成立，满足条件．
②若m≠0，要使不等式恒成立，
则

m＜0 △=m2+4m＜0

，
即

m＜0 -4＜m＜0

，∴-4＜m＜0，
综上-4＜m≤0．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及一元二次不等式恒成立问题，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大，涉及的知识点较多．