题目内容
设{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d≠0),Sn是其前n项和.记bn=,n∈N*,其中c为实数.
(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比数列,证明:Snk=n2Sk(k,n∈N*);
(2)若{bn}是等差数列,证明:c=0.
(1)见解析(2)见解析
【解析】∵{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d≠0),Sn是其前n项和,
∴Sn=na+d.
(1)∵c=0,∴bn==a+d.
∵b1,b2,b4成等比数列,∴=b1b4,
∴,∴ad-d2=0,∴d=0.
∵d≠0,∴a=d,∴d=2a,∴Sn=na+d=na+2a=n2a,
∴左边=Snk=(nk)2a=n2k2a,右边=n2Sk=n2k2a,
∴左边=右边,∴原式成立.
(2)∵{bn}是等差数列,
∴设公差为d1,
∴bn=b1+(n-1)d1
代入bn=,得b1+(n-1)d1=,
∴n3+n2+cd1n=c(d1-b1)对n∈N*恒成立,
∴ ∴d1=d.∵d≠0,∴d1≠0.
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