Question

16．如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF=$\frac{1}{2}$，则下列有四个结论：
①AC⊥BE    
②EF∥平面ABCD
③三棱锥A-BEF的体积为定值    
④△AEF的面积与△BEF的面积相等．
其中错误的结论个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①由线面垂直得出线线垂直；
②由面面平行得出线面平行；
③可求出该三棱锥的体积为定值；
④由△AEF与△BEF是同底不等高，得出面积不相等．

解答 解：对于①，根据题意，结合图形知，AC⊥面DD₁B₁B，BE?平面DD₁B₁B，
∴AC⊥BE，命题正确；
对于②，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，EF?平面A₁B₁C₁D₁，
∴EF∥平面ABCD，命题正确；
对于③，三棱锥A-BEF的体积为V_{三棱锥A-BEF}=$\frac{1}{3}$•S_△BEF•h=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{24}$，
∴三棱锥A-BEF的体积为定值，命题正确；
对于④，∵点B到直线EF的距离与点A到直线EF的距离不相等，
∴△AEF与△BEF的面积不相等，命题错误；
综上，错误的命题有1个．
故选：B．

点评 本题以正方体为载体，考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了面积与体积的计算问题，
是综合性题目．