Question

18．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，PB=1，PA=$\sqrt{3}$，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 法一：如图根据题设条件可求得角DOP的大小，由于OD=1，OP=2，由余弦定理求长度即可．
法二：由图形知，若能求得点D到线段OC的距离DE与线段OE的长度，在直角三角形PED中用勾股定理求PD即可．

解答 解法一：∵PA切⊙O于点A，B为PO中点，
∴AB=OB=OA，
∴∠AOB=60°，∴∠POD=120°，
在△POD中由余弦定理，
得：PD²=PO²+DO²-2PO•DOcos∠POD=4+1-4×（-$\frac{1}{2}$）=7，
∴PD=$\sqrt{7}$．
解法二：过点D作DE⊥PC垂足为E，
∵∠POD=120°，
∴∠DOC=60°，
可得OE=$\frac{1}{2}$，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△PED中，有PD=$\sqrt{P{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{3}{4}}$=$\sqrt{7}$．
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 本题考点是与圆有关的比例线段，本题考查求线段的长度，平面几何中求线段长度一般在三角形中用正弦定理与余弦定理求解，做题后要注意总结方法选取的规律．