题目内容
18.如图,PA切⊙O于点A,割线PBC经过圆心O,PB=1,PA=$\sqrt{3}$,OA绕点O逆时针旋转60°到OD,则PD的长为$\sqrt{7}$.分析 法一:如图根据题设条件可求得角DOP的大小,由于OD=1,OP=2,由余弦定理求长度即可.
法二:由图形知,若能求得点D到线段OC的距离DE与线段OE的长度,在直角三角形PED中用勾股定理求PD即可.
解答 解法一:∵PA切⊙O于点A,B为PO中点,
∴AB=OB=OA,
∴∠AOB=60°,∴∠POD=120°,
在△POD中由余弦定理,
得:PD2=PO2+DO2-2PO•DOcos∠POD=4+1-4×(-$\frac{1}{2}$)=7,
∴PD=$\sqrt{7}$.
解法二:过点D作DE⊥PC垂足为E,
∵∠POD=120°,
∴∠DOC=60°,
可得OE=$\frac{1}{2}$,DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
在Rt△PED中,有PD=$\sqrt{P{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{3}{4}}$=$\sqrt{7}$.
故答案为:$\sqrt{7}$.
点评 本题考点是与圆有关的比例线段,本题考查求线段的长度,平面几何中求线段长度一般在三角形中用正弦定理与余弦定理求解,做题后要注意总结方法选取的规律.
练习册系列答案
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