Question

【题目】（1）写出命题“两个有理数的和是有理数”的逆命题、否命题、逆否命题；

（2）判断上述四个命题的真假，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）原命题是真命题，逆命题是假命题，否命题是假命题，逆否命题是真命题

【解析】

（1）要写出一个命题的其他三种形式，首先要将原命题改写成“如果……，那么……”的形式，再根据逆命题、否命题、逆否命题的定义，写出其他三种形式的命题；

（2）先判断出原命题和逆命题的真假，真命题进行证明，假命题可举出反例，然后利用互为逆否的两个命题同真假，去判断否命题和逆否命题的真假.

（1）原命题可改写成：如果两个数都是有理数，那么这两个数的和是有理数．

逆命题：如果两个数的和是有理数，那么这两个数都是有理数；

否命题：如果两个数不都是有理数，那么这两个数的和不是有理数；

逆否命题：如果两个数的和不是有理数，那么这两个数不都是有理数．

（2）原命题是真命题，证明如下：

设，都是有理数，则令，（，，，，且），

．

∵，，且，∴是有理数．

由于逆否命题与原命题是等价命题，所以逆否命题也是真命题．

逆命题是假命题，其反例如下：

设，，则是有理数，但，都不是有理数．

由于逆命题与否命题是等价命题，所以否命题也是假命题．