题目内容

【题目】如图,在平面凸四边形中(凸四边形指没有角度数大于的四边形),.

(1)若,求

(2)已知,记四边形的面积为.

① 求的最大值;

② 若对于常数,不等式恒成立,求实数的取值范围.(直接写结果,不需要过程)

【答案】(1)3;(2)①;②.

【解析】

1)在中,利用余弦定理求得;在中利用余弦定理构造关于的方程,解方程求得结果;(2)①在中利用余弦定理构造等量关系可得,根据三角形面积公式可得,两式平方后作和可得,当时,可求得的最大值;②由可知,根据①可知,的范围由的范围决定,求解出为钝角、为锐角;根据的单调性可求得最小值,从而求得得到结果.

(1)在中,

由余弦定理得:

中,

由余弦定理得:

即:,解得:

(2)①在中,由余弦定理得:

整理可得:

面积:,即:

即:

时,即时,

四边形面积的最大值为:

由①知:,则需研究的范围.

增大时,增大,从而随之增大

所以,当趋于共线时,趋于,其中钝角满足

减小时,减小,从而随之减小

所以,当趋于共线时,趋于,其中锐角满足

,则上递增,在上递减

并且

,即

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