Question

11．设集合L={l|直线l与直线y=3x相交，且以交点的横坐标为斜率}．
（1）是否存在直线l₀使l₀∈L，且l₀过点（1，5），若存在，请写出l₀的方程，若不存在，请说明理由；
（2）点P（-3，5）与集合L中的哪一条直线的距离最小？
（2）设a∈（0，+∞），点P（-3，a）与集合L中的直线的距离最小值记为f（a），求f（a）的解析式．

Answer 1

分析 （1）假设存在直线l₀使l₀∈L，且l₀过点（1，5）．设l₀方程为：y-5=k（x-1），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{y=kx+5-k}\end{array}\right.$，求出交点可得：x=$\frac{5-k}{3-k}$=k，解出即可判断出．
（2）设直线l∈L，其方程为：y=kx+b，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，（k≠3），求出交点，可得b=3k-k²．利用点到直线的距离公式及其基本不等式的性质即可得出．
（3）利用（2）可得b=3k-k²．点P（-3，a）到直线l的距离d=$\frac{|-3k-a+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$+$\frac{a-1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，对a分类讨论，利用基本不等式的性质与利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）假设存在直线l₀使l₀∈L，且l₀过点（1，5）．
设l₀方程为：y-5=k（x-1），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{y=kx+5-k}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{5-k}{3-k}$，（k≠3），
则$\frac{5-k}{3-k}$=k，化为k²-4k+5=0，此方程无解，因此不存在满足条件的直线l₀．
（2）设直线l∈L，其方程为：y=kx+b，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，（k≠3），解得x=$\frac{b}{3-k}$．
则$\frac{b}{3-k}$=k，化为b=3k-k²．
点P（-3，5）到直线l的距离d=$\frac{|-3k-5+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{5+{k}^{2}}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$+$\frac{4}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$$≥2\sqrt{\sqrt{{k}^{2}+1}•\frac{4}{\sqrt{{k}^{2}+1}}}$=4，当且仅当k=$±\sqrt{3}$时取等号．
当k=$\sqrt{3}$时，b=$3\sqrt{3}$-3，此时直线l的方程为：$y=\sqrt{3}x$+$3\sqrt{3}$-3．
当k=-$\sqrt{3}$时，b=-$3\sqrt{3}$-3，此时直线l的方程为：y=-$\sqrt{3}$x-$3\sqrt{3}$-3．
∴点P（-3，5）与集合L中的直线：$y=\sqrt{3}x$+$3\sqrt{3}$-3或直线y=-$\sqrt{3}$x-$3\sqrt{3}$-3的距离最小．
（3）设直线l∈L，其方程为：y=kx+b，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，（k≠3），解得x=$\frac{b}{3-k}$．
则$\frac{b}{3-k}$=k，化为b=3k-k²．
点P（-3，a）到直线l的距离d=$\frac{|-3k-a+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{{k}^{2}+a}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$+$\frac{a-1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
当a＞2时，d≥$2\sqrt{\sqrt{{k}^{2}+1}•\frac{a-1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}}$=2$\sqrt{a-1}$，当且仅当k=$±\sqrt{\sqrt{a-1}-1}$时取等号．
当a=2时，d≥$2\sqrt{\sqrt{{k}^{2}+1}•\frac{a-1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}}$=2$\sqrt{a-1}$，当且仅当k=0时取等号．
当0＜a＜2时，令t=$\sqrt{{k}^{2}+1}$≥1．则d=t+$\frac{a-1}{t}$，d′=1-$\frac{a-1}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-（a-1）}{{t}^{2}}$＞0．此时函数d（t）单调递增，因此t=1，即k=0时d取得最小值a．
综上可得：f（a）=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{a-1}，a≥2}\\{a，0＜a＜2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了直线的交点、点到直线的距离公式、基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．