Question

（2012•青岛二模）已知函数f(x)=cosx+

1

2

x，x∈[-

π

2

，

π

2

]，sinx0=

1

2

，x0∈[-

π

2

，

π

2

]．那么下面命题中真命题的序号是（　　）
①f（x）的最大值为f（x₀）
②f（x）的最小值为f（x₀）
③f（x）在[-

π

2

，x0]上是增函数      
④f（x）在[x0，

π

2

]上是增函数．

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

Answer 1

分析：由于sinx0=

1

2

，x0∈[-

π

2

，

π

2

]，则可求出x₀，再利用导函数即可求出原函数的最值及其在[x0，

π

2

]和[-

π

2

，x0]上的单调性．

解答：解：因为sinx0=

1

2

，x0∈[-

π

2

，

π

2

]，所以x0=

π

6

．
函数的导数为f′(x)=

1

2

-sinx，
由f′(x)=

1

2

-sinx＞0，解得sinx＜

1

2

，
又因为x∈[-

π

2

，

π

2

]，所以-

π

2

＜x＜

π

6

，此时函数单调递增，
由f′(x)=

1

2

-sinx＜0，解得sinx＞

1

2

，
又因为x∈[-

π

2

，

π

2

]，所以

π

6

＜x＜

π

2

，此时函数单调递减，所以①③正确，
故答案选A．

点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，同时考查了导数在研究函数单调性中的应用，我们要对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．注意导数在研究函数单调性中的应用为高考必考知识点．