题目内容
【题目】已知椭圆的两个焦点
,
,且椭圆过点
,
,且
是椭圆上位于第一象限的点,且
的面积
.
(1)求点的坐标;
(2)过点的直线
与椭圆
相交于点
,
,直线
,
与
轴相交于
,
两点,点
,则
是否为定值,如果是定值,求出这个定值,如果不是请说明理由.
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】
试题(1)通过已知条件首先求得椭圆的标准方程,再结合三角形的面积计算公式,即可求得的坐标;(2)将直线
的方程设出,联立直线方程与椭圆方程,通过计算说明是否为定值即可.
试题解析:(1)∵椭圆过点
,
,
∴,计算得
,
,∴椭圆
的方程为
.
∵的面积
,∴
,∴
,代入椭圆方程
.
∵,∴
,∴
;(2)法一:设直线
的方程为
,
,
,
直线的方程为
,可得
,即
,
直线的方程为
,可得
,即
.
联立,消去
,整理,得
.
由,可得
,
,
,
∴为定值,且
.
法二:设,
,
,
,直线
,
,
的斜率分别为
,
,
,由
,得
,
,可得
,
,
,
,
由,令
,得
,即
,
同理得,即
,则
∴为定值,该定值为
.
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