题目内容
已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)证明:对任意的,存在唯一的,使;
(3)设(2)中所确定的关于的函数为,证明:当时,有.
(1)减区间是,增区间是;(2)详见解析;(3)详见解析.
解析试题分析:(1)先确定函数的定义域,然后利用导数求出函数的单调区间;(2)构造函数
,利用函数的单调性与零点存在定理来证明题中结论;(3)根据(2)中的结论得到
,利用换元法令得到,于是将问题转化为且,构造新函数,利用导数来证明在区间上恒成立即可.
试题解析:(1)函数的定义域为,
,令,得,
当变化时,,的变化情况如下表:
所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是;极小值
(2)当时,.设,令,,
由(1)知在区间内单调递增,
,,
故存在唯一的,使得成立;
(3),由(2)知,
练习册系列答案
相关题目