题目内容
【题目】已知定点,圆
,过点
的直线
交圆
于
两点,过点
作直线
交直线
于
点,
(1)求点的轨迹方程
;
(2)若是曲线
上不重合的四个点,且
与
交于点
,
,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)由题意可得,则
点的轨迹是以
点为焦点的椭圆,求出
的值,可得
点的轨迹方程
;
(2)由知
, 且
,
①当直线中有一条直线的斜率不存在时,
②当直线的斜率为
时,其方程为:
,联立直线与椭圆,可得
,
的值,
可用
来表示,同理可得
,故
可用
来表示,令
,利用函数的性质可其取值范围,综合可得答案.
解:(1)由题意可得:圆,
,可得
,
如图:,
易得:,可得
,
,
则点的轨迹是以
点为焦点的椭圆.其中
故点的轨迹方程为
;
(2)由知
, 且
①当直线中有一条直线的斜率不存在时,
②当直线的斜率为
时,其方程为:
由得:
,设
则
同理可得:,所以
令
综上,的取值范围
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