Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=

6

，点D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，求：
（1）该直三棱柱的侧面积；
（2）（理）异面直线DB₁与EA₁所成的角的大小（用反三角函数值表示）
（3）（文）异面直线DE与A₁B₁所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）根据题意求出AC、AB的长，然后利用直三棱柱的侧面展开图是矩形，并且该矩形的长为△ABC的周长，宽为三棱柱的高，即可求得结果；
（2）（理）取B₁C₁的中点为F，连接EF，A₁F，根据题意可得：四边形B1DEF是平行四边形，即可得到B₁D∥EF，可得∠FEA₁与异面直线DB₁与EA₁所成的角相等，再利用解三角形的有关求出异面直线的夹角．
（3）（文）根据几何体的结构特征可得：AB∥A₁B₁，进而得到∠ADE就是异面直线DE与A₁B₁所成的角，再根据题意异面直线的夹角即可．

解答：解：（1）∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，
∴AB=2，AC=

3

，
∴S_侧=（AB+AC+BC）AA₁=(3+

3

)

6

，
所以直三棱柱的侧面积(3+

3

)

6

．
（2）（理）取B₁C₁的中点为F，连接EF，A₁F，

所以B₁F∥BC，并且B₁F=

1

2

BC，
因为点D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，
所以DE∥BC，并且DE=

1

2

BC，
所以B₁F∥DE，并且B₁F=DE，
所以四边形B1DEF是平行四边形，
所以B₁D∥EF，
所以∠FEA₁与异面直线DB₁与EA₁所成的角相等．
取BC的中点为H，连接FH，EH，
因为BC=1，AA₁=

6

，点D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，
所以EA₁=

3 3

2

，A₁F=

13

2

，FE=

7

，
所以在△FEA₁中有余弦定理可得：cos∠FEA₁=

EF2+EA12-A1F2

2•EF•EA1

=

21

6

，
所以异面直线DB₁与EA₁所成的角的大小为arccos

21

6

．
（3）（文）∵AB∥A₁B₁，
∴∠ADE就是异面直线DE与A₁B₁所成的角
∵点D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，∠ABC=60°，
∴∠ADE=60°，
∴异面直线DE与A₁B₁所成的角为60°．

点评：本题考查柱体的侧面积，一般利用侧面展开图求解，本题重点考查了异面直线所成的角，平移法是解决异面直线所成的角的主要方法之一，求空间角的关键是正确的作出空间角，再证明此角即为所求角，然后利用解三角形的有关知识求出空间角，此题属于基础题，对学生的运算能力与空间想象能力有一定的要求．