题目内容

【题目】已知极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合,圆C的极坐标是ρ=2asinθ,直线l的参数方程是 (t为参数).
(1)若a=2,M为直线l与x轴的交点,N是圆C上一动点,求|MN|的最大值;
(2)若直线l被圆C截得的弦长为 ,求a的值.

【答案】
(1)解:直线l的参数方程是 ,a=2时,化为普通方程: (x﹣2).令y=0,解得x=2,可得M(2,0).圆C的极坐标是ρ=2asinθ,即ρ2=4ρsinθ,可得直角坐标方程:x2+y2﹣4y=0,即x2+(y﹣2)2=4.

|MC|=2 ,∴|MN|的最大值为2 +2.


(2)解:圆C的方程为:x2+(y﹣a)2=a2,直线l的方程为:4x+3y﹣4a=0,

圆心C到直线l的距离d= =

=2 ,解得a=


【解析】(1)直线l的参数方程是 ,a=2时,化为普通方程: (x﹣2).可得M(2,0).圆C的极坐标是ρ=2asinθ,即ρ2=4ρsinθ,利用互化公式可得直角坐标方程,求出|MC|=2 ,可得|MN|的最大值为2 +r.(2)圆C的方程为:x2+(y﹣a)2=a2,直线l的方程为:4x+3y﹣4a=0,利用点到直线的距离公式与弦长公式即可得出.

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