题目内容

函数y=f（x）的导数记为f′（x），若f′（x）的导数记为f（2）（x），f（2）（x）的导数记为f（3）（x），…．若f（x）=sinx，则f（2013）（x）=
cosx
cosx
．
分析：根据基本初等函数的导数公式，依次求出f′（x），f（2）（x），f（3）（x），f（4）（x），…．找出导函数出现的规律，则可得到f（2013）（x）．
解答：解：由f（x）=sinx，所以f′（x）=cosx，
由定义，则f（2）（x）=-sinx，f（3）（x）=-cosx，f（4）（x）=sinx，
然后向下依次循环，导函数以4为周期循环出现，
则f（2012）（x）=sinx，所以f（2013）（x）=（sinx）′=cosx．
故答案为cosx．
点评：本题考查了导数的运算，考查了学生分析问题和观察问题的能力，此题属基础题．
练习册系列答案
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1、已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如下，则（　　）
10、已知f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（　　）
若函数y=g（x）是函数y=f（x）的导函数，则称函数y=f（x）是函数y=g（x）的原函数，例如y=x3是y=3x2的原函数，y=x3+1也是y=3x2的原函数，现请写出函数y=2x4的一个原函数
 
．
（2009•东营一模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．
定义：（1）设f''（x）是函数y=f（x）的导数y=f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”；
定义：（2）设x0为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x0，f（x0））对称．
已知f（x）=x3-3x2+2x+2，请回答下列问题：
（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标
（2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）
（3）写出一个三次函数G（x），使得它的“拐点”是（-1，3）（不要过程）
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f'（x）是函数y=f（x）的导数，f''是f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
，请你根据这一发现，求：
（1）函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
对称中心为
(
1
2
，1)
(
1
2
，1)
；
（2）计算f(
1
2011
)+f(
2
2011
)+f(
3
2011
)+f(
4
2011
)+…+f(
2010
2011
)=
2010
2010
．

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