Question

（2009•东营一模）对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）．
定义：（1）设f''（x）是函数y=f（x）的导数y=f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”；
定义：（2）设x₀为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x₀+x）+f（x₀-x）=2f（x₀）成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x₀，f（x₀））对称．
已知f（x）=x³-3x²+2x+2，请回答下列问题：
（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标
（2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）
（3）写出一个三次函数G（x），使得它的“拐点”是（-1，3）（不要过程）

Answer 1

分析：（1）根据“拐点”的定义求出f''（x）=0的根，然后代入函数解析式可求出“拐点”A的坐标．
（2）由（1）知“拐点”坐标是（1，2），然后计算f（1+x）+f（1-x）可得等于2f（1），根据定义（2）可得结论，一般地，三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的“拐点”是(-

b

3a

，f(-

b

3a

))，它就是f（x）的对称中心．
（3）根据“拐点”的定义可写出符合条件的三次函数．

解答：解：（1）依题意，得：f'（x）=3x²-6x+2，∴f''（x）=6x-6．…（2分）
由f''（x）=0，即6x-6=0．∴x=1，又 f（1）=2，
∴f（x）=x³-3x²+2x+2的“拐点”坐标是（1，2）．…（4分）
（2）由（1）知“拐点”坐标是（1，2）．
f（1+x）+f（1-x）=（1+x）³-3（1+x）²+2（1+x）+2+（1-x）³-3（1-x）²+2（1-x）+2=2+6x²-6-6x²+4+4=4=2f（1），
由定义（2）知：f（x）=x³-3x²+2x+2关于点（1，2）对称．…（8分）
一般地，三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的“拐点”是(-

b

3a

，f(-

b

3a

))，它就是f（x）的对称中心．…（10分）
（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数…）都可以给分
（3）G（x）=a（x+1）³+b（x+1）+3（a≠0）或写出一个具体的函数，
如G（x）=x³+3x²+3x+4或G（x）=x³+3x²-x．…（12分）

点评：本题在函数、导数、方程的交汇处命题，具有较强的预测性，而且设问的方式具有较大的开放性，情景新颖，解题的关键是：深刻理解函数“拐点”的定义和函数图象的对称中心的意义．其本质是：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；且任何一个三次函数的拐点就是它的对称中心，即(-

b

3a

，f(-

b

3a

))．