题目内容
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f'（x）是函数y=f（x）的导数，f''是f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)=
x3-
x2+3x-
，请你根据这一发现，求：
（1）函数f(x)=
x3-
x2+3x-
对称中心为
（2）计算f(
)+f(
)+f(
)+f(
)+…+f(
)=
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| 12 |
（1）函数f(x)=
| 1 |
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| 2 |
| 5 |
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(
，1)
| 1 |
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(
，1)
；| 1 |
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（2）计算f(
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2010
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．分析：（1）先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐点的横坐标，代入函数解析式求拐点的纵坐标．
（2）由（1）知，若（a，b）与（c，d）为f（x）图象上的点，且关于点（
，1）对称，则有a+c=1，且f（a）+f（c）=2，根据该结论即可求得答案；
（2）由（1）知，若（a，b）与（c，d）为f（x）图象上的点，且关于点（
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）依题意，得：f′（x）=x2-x+3，∴f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=
，
又 f（
）=1，
∴函数f(x)=
x3-
x2+3x-
的对称中心为（
，1）；
（2）由（1）知，若（a，b）与（c，d）为f（x）图象上的点，且关于点（
，1）对称，则有a+c=1，且f（a）+f（c）=2，
设S=f(
)+f(
)+f(
)+f(
)+…+f(
)，
又S=f（
）+f（
）+f（
）+f（
）+…+f（
），
所以2S=[f（
）+f（
）]+…+[f（
）+f（
）]=2×2010，
所以S=2010，即f(
)+f(
)+f(
)+f(
)+…+f(
)=2010．
故答案为：（1）（
，1）；（2）2010．
由f″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=
| 1 |
| 2 |
又 f（
| 1 |
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∴函数f(x)=
| 1 |
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（2）由（1）知，若（a，b）与（c，d）为f（x）图象上的点，且关于点（
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设S=f(
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又S=f（
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| 2008 |
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所以2S=[f（
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所以S=2010，即f(
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故答案为：（1）（
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点评：本题考查一阶导数、二阶导数的求法，函数的拐点的定义以及函数图象关于某点对称的条件．
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