题目内容
【题目】已知椭圆
的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过
，
.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；
（Ⅱ）四边形
的四个顶点都在椭圆上，且对角线
，
过原点
，若
，求证：四边形的面积为定值，并求出此定值.
【答案】（Ⅰ）椭圆的标准方程
，离心率
；（Ⅱ）见解析.
【解析】
（Ⅰ）设椭圆的方程为
，代入条件可得椭圆方程，进而可得离心率；
（Ⅱ）由题意知直线
的斜率存在，，设的方程为
，
，
，与椭圆联立得
，由
，利用韦达定理代入化简得
，表示原点到直线的距离
，
代入
化简即可得解.
（Ⅰ）设椭圆的方程为，则
所以椭圆的标准方程，所以
，
，
，离心率.
（Ⅱ）证明：不妨设点
、
位于
轴的上方，则直线的斜率存在，
设的方程为，，.
联立
，得 ，
则
，
.①
由
，得
.②
由①、②，得.③
设原点到直线的距离为
，
，
.
由③、④得
，故四边形
的面积为定值，且定值为
.
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