题目内容
【题目】在四棱锥
中，底面
是正方形，顶点
在底面的射影是底面的中心，且各顶点都在同一球面上，若该四棱锥的侧棱长为
，体积为4，且四棱锥的高为整数，则此球的半径等于（参考公式：
）（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】D
【解析】
根据题意画出图形，设底面正方形
的中心为
，四棱锥
的外接球的球心为
，半径为
，设底面正方形的边长为
，四凌锥的高为
，根据题意列出关于和的方程，进一步由勾股定理，即可求解.
如图所示，设底面正方形的中心为，四棱锥的外接球的球心为，半径为.
设底面正方形的边长为，四凌锥的高为
，则
，
因为该四棱锥的侧棱长为
，所以
，即
……①
又因为四棱锥的体积为4，所以
……②
由①得
，代入②得
，配凑得
，
则
，即
，
得
或
，因为
，所以
.
再将回代入①中，解得
，所以
，所以
.在
中，由勾股定理，得
，即
，
解得
，所以此球的半径等于
.
故选D.
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