题目内容
【题目】如图已知
，
，
、
分別为
、
的中点
，将
沿
折起，得到四棱锥
，
为
的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）当正视图方向与向量
的方向相同时，的正视图为直角三角形，求此时二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）由平面图可知，
，
，得到
平面
，得
，再由已知可得
.由直线与平面垂直的判定可得
平面
；
（2）由
的正视图三角形与
全等，且为直角三角形，得
，以
为原点，分别以
、
、
所在直线为
、
、
轴建立空间直角坐标系，分别求出平面
的一个法向量与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角
的余弦值.
（1）由平面图可知，，，
又
，
平面，
平面，
，
为
的中点，
，
.
，
平面；
（2）
四棱锥的正视图三角形与全等，且均为直角三角形，
，
以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系.
则
、
、
、
、
、
，
，
，
.
设平面的一个法向量为
，
由
，取
，得
.
又
为平面的一个法向量，
设二面角为
，
.
由图形可知，二面角为钝角，所以，二面角的余弦值为.
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