Question

1．设x＞0，y＞0，2x+y=2，则$\frac{2}{x+1}$+$\frac{1}{y}$的最小值为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由题意可得x+1＞0，且$\frac{x+1}{2}$+$\frac{y}{4}$=1，可得$\frac{2}{x+1}$+$\frac{1}{y}$=（$\frac{2}{x+1}$+$\frac{1}{y}$）（$\frac{x+1}{2}$+$\frac{y}{4}$）=$\frac{5}{4}$+$\frac{y}{2（x+1）}$+$\frac{x+1}{2y}$，由基本不等式求最值可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，2x+y=2，
∴x+1＞0，且2x+2+y=4，
∴2（x+1）+y=4，∴$\frac{x+1}{2}$+$\frac{y}{4}$=1，
∴$\frac{2}{x+1}$+$\frac{1}{y}$=（$\frac{2}{x+1}$+$\frac{1}{y}$）（$\frac{x+1}{2}$+$\frac{y}{4}$）
=$\frac{5}{4}$+$\frac{y}{2（x+1）}$+$\frac{x+1}{2y}$≥$\frac{5}{4}$+2$\sqrt{\frac{y}{2（x+1）}•\frac{x+1}{2y}}$=$\frac{9}{4}$
当且仅当$\frac{y}{2（x+1）}$=$\frac{x+1}{2y}$即x=$\frac{1}{3}$且y=$\frac{4}{3}$时取等号，
∴$\frac{2}{x+1}$+$\frac{1}{y}$的最小值为$\frac{9}{4}$
故答案为：$\frac{9}{4}$

点评 本题考查基本不等式求最值，正确变形是解决问题的关键，属中档题．