题目内容

如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.
(I)若,证明:
(II)在(I)条件下,若点Q是点P关于原点对称点,证明:
(III)设直线AB的方程是x-2y+12=0,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程.

【答案】分析:(I)利用向量相等,即可证明;
(II)依题意,可设直线AB的方程为y=kx+m,代入抛物线方程,得到根与系数的关系,点Q是点P关于原点的称点,故点Q(0,-m),从而,进而得到,利用根与系数的关系及其数量积运算即可得出=0即可证明
(III)直线AB的方程与抛物线方程联立即可解得点A,B的坐标,利用导数即可切线的斜率,再利用圆的切线的性质及圆的标准方程即可解得.
解答:解:(I)∵,∴-x1=λx2,(x2≠0),即
(II)依题意,可设直线AB的方程为y=kx+m,
代入抛物线方程x2=4y得x2-4kx-4m=0 ①
∵直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.
∴x1x2=-4m.
点Q是点P关于原点的称点,
故点Q(0,-m),从而
=(x1,y1+m)-λ(x2,y2+m)=(x1-λx2,y1-λy2+(1-λ)m),
=2m[y1-λy2+(1-λ)m]====0

(III)由得点A、B坐标分别是(6,9)、(-4,4),
由x2=4y得,∴
所以抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为y′|x=6=3.
设圆C的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2

解之得
即x2+y2+3x-23y+72=0.
点评:本题综合考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线与圆及抛物线相切问题、利用导数的几何意义得到切线的斜率、斜率的计算公式、切线的性质等解出知识与基本技能,考查了推理能力与计算能力.
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