题目内容

精英家教网如图，过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y-1）2=1于点A、B、C、D，则
AB
•
CD
的值是
 
．
分析：设A、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）及直线方程，联立直线和抛物线的方程求出y1•y2，y1+y2，
并用y1，y2表示AF，FD，而所求
AB
•
CD
=
|AB
|•
|CD
|=(AF-BF)(FD-CF)=（AF-1）（FD-1），代入
上述式子中即可．
解答：解：设A、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意知焦点F（0，1），则设直线AD方程为：y=kx+1，
联立
y=kx+1
x2=4y
消去x，得y2-（2+4k2）y+1=0，
∴y1+y2=2+4k2，y1•y2=1
又根据抛物线定义得AF=y1+
p
2
，FD=y2+
p
2
，∴AF=y1+1，FD=y2+1
AB
•
CD
=
|AB
|•
|CD
|=(AF-BF)(FD-CF)=（AF-1）（FD-1）
=y1•y2=1．
故答案为1
点评：此题设计构思比较新颖，考查抛物线的定义及巧妙将向量数量积转化，
同时在解答过程中处理直线和抛物线的关系时运用了设而不求的方法．
练习册系列答案
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精英家教网如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点．
（I）设点P分有向线段
AB
所成的比为λ，证明：
QP
⊥(
QA
-λ
QB
)
（Ⅱ）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．
如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．
（I）若
AP
=λ
PB
(λ∈R)，证明：λ=-
x1
x2
；
（II）在（I）条件下，若点Q是点P关于原点对称点，证明：
QP
⊥(
QA
-λ
QB
)；
（III）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．
（2012•绍兴模拟）如图，过抛物线x2=4y焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点（A在第一象限），点C（0，t）（t＞1）．
（I）若△CBF，△CFA，△CBA的面积成等差数列，求直线l的方程；
（II）若|AB|∈(
9
2
，
64
7
)，且∠FAC为锐角，试求t的取值范围．
如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点．
（I）设点P分有向线段所成的比为λ，证明：
（Ⅱ）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．

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