题目内容
如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点,点Q是点P关于原点的对称点.(I)设点P分有向线段
AB |
QP |
QA |
QB |
(Ⅱ)设直线AB的方程是x-2y+12=0,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程.
分析:(Ⅰ)依题意,可设直线AB的方程为y=kx+m,代入抛物线方程x2=4y得x2-4kx-4m=0.设A、B两点的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),x1x2=-4m.由点P(0,m)分有向线段
所成的比为λ,得
=0,即λ=-
.由此可以推出
⊥(
-λ
).
(Ⅱ)由
得点A、B的坐标分别是(6,9)、(-4,4).设圆C的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,则
解得a=-
,b=
,r2=(a+4)2+(b-4)2=
.所以圆C的方程是x2+y2+3x-23y+72=0.
AB |
x1+λx2 |
1+λ |
x1 |
x2 |
QP |
QA |
QB |
(Ⅱ)由
|
|
3 |
2 |
23 |
2 |
125 |
2 |
解答:解:(Ⅰ)依题意,可设直线AB的方程为y=kx+m,代入抛物线方程x2=4y得x2-4kx-4m=0.①
设A、B两点的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),则x1、x2是方程①的两根.
所以x1x2=-4m.
由点P(0,m)分有向线段
所成的比为λ,
得
=0,即λ=-
.
又点Q是点P关于原点的对称点,
故点Q的坐标是(0,-m),从而
=(0,2m).
-λ
=(x1,y1+m)-λ(x2,y2+m)=(x1-λx2,y1-λy2+(1-λ)m).
•(
-λ
)=2m[y1-λy2+(1-λ)m]=2m[
+
•
+(1+
)m]=2m(x1+x2)•
=2m(x1+x2)•
=0.
所以
⊥(
-λ
).
(Ⅱ)由
得点A、B的坐标分别是(6,9)、(-4,4).
由x2=y得y=
x2,y′=
x,
所以抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为y'|x=6=3
设圆C的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,
则
解之得a=-
,b=
,r2=(a+4)2+(b-4)2=
.
所以圆C的方程是(x+
)2+(y-
) 2=
,
即x2+y2+3x-23y+72=0.
设A、B两点的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),则x1、x2是方程①的两根.
所以x1x2=-4m.
由点P(0,m)分有向线段
AB |
得
x1+λx2 |
1+λ |
x1 |
x2 |
又点Q是点P关于原点的对称点,
故点Q的坐标是(0,-m),从而
QP |
QA |
QB |
QP |
QA |
QB |
| ||
4 |
x1 |
x2 |
| ||
4 |
x1 |
x2 |
x1x2+4m |
4x2 |
-4m+4m |
4x2 |
所以
QP |
QA |
QB |
(Ⅱ)由
|
由x2=y得y=
1 |
4 |
1 |
2 |
所以抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为y'|x=6=3
设圆C的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,
则
|
解之得a=-
3 |
2 |
23 |
2 |
125 |
2 |
所以圆C的方程是(x+
3 |
2 |
23 |
2 |
125 |
2 |
即x2+y2+3x-23y+72=0.
点评:本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,仔细求解.
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