Question

【题目】对于数列{an}、{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn+1﹣（n+1）=Sn+an+n，a1=b1=1，bn+1=3bn+2，n∈N* ．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）令cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由Sn+1﹣（n+1）=Sn+an+n，

∴Sn+1﹣Sn=an+2n+1，

∴an+1﹣an=2n+1，

∴a2﹣a1=2×1+1，

a3﹣a2=2×2+1，

a4﹣a3=2×3+1，

…

an﹣an﹣1=2（n﹣1）+1，

以上各式相加可得：an﹣a1=2×（1+2+3+…+n﹣1）+（n﹣1），

∴an=2× +（n﹣1）+1=n2，

∴an=n2，

∵bn+1=3bn+2，即bn+1+1=3（bn+1），

b1+1=2，

∴数列{bn+1}是以2为首项，以3为公比的等比数列，

bn+1=2×3n﹣1，

∴bn=2×3n﹣1﹣1；

（2）解：由（1）可知：cn= = = ，

∴Tn=c1+c2+…+cn= + + +…+ ，

Tn= + + +…+ ，

∴ Tn=2+ + + +…+ ﹣ ，

=2+ ﹣ ，

= ﹣ ，

∴Tn= ﹣ ，

数列{cn}的前n项和Tn，Tn= ﹣

【解析】（1）由Sn+1﹣Sn=an+2n+1，则an+1﹣an=2n+1，利用“累加法”即可求得an=n2 ， 由bn+1+1=3（bn+1），可知数列{bn+1}是以2为首项，以3为公比的等比数列，即可求得{bn}的通项公式；（2）由（1）可知：cn= = = ，利用“错位相减法”即可求得数列{cn}的前n项和Tn ．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．