Question

14．已知定义在（-1，1）上的奇函数f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$满足f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=0，求出b，利用f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$，求出a，即可求函数f（x）的解析式；
（2）利用导数大于0，证明函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．

解答 （1）解：∵定义在（-1，1）上的奇函数f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$，
∴f（0）=0，
∴b=0，
∵f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}a}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{2}{5}$，
∴a=1，
∴f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$；
（2）证明：∵f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，
∴f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，
∵x∈（-1，1），
∴f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{（1+{x}^{2}）^{2}}$＞0，
∴函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性，考查函数解析式的确定，正确理解函数的单调性与奇偶性是关键．