题目内容
【题目】已知函数.
(1)设,当
时,求函数
的定义域,判断并证明函数
的奇偶性;
(2)是否存在实数,使函数
在
上单调递减,且最小值为1?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析(2)不存在
【解析】
(1)先求得的表达式,根据对数真数大于零列不等式组,解不等式组求得
的定义域.利用
证得
为奇函数.
(2)利用复合函数单调性同增异减求得的取值范围,根据
在区间
上的最小值列式,由此判断出不存在满足要求的实数
.
(1)时,依题意
,所以
,解得
.所以
的定义域为
.
定义域关于原点对称,且
,所以
为奇函数.
(2)不存在
假设存在实数满足条件,记
,因
,
则在
上单调递增,使函数
在
上单调递减,则
,
由函数在
上最小值为1,则有
,不等式组无解,
故不存在实数满足题意.
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