Question

10．已知函数f（x）=-sin²x+sinx+$\frac{1}{2}$，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）设函数g（x）=acosx-2，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，若对于任意x₁∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，一定存在x₀∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得sinx的范围，再利用二次函数的性质求得f（x）=-${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$ 的值域．
（2）由题意可得f（x）的值域是g（x）值域的子集，分别求得g（x₀）和f（x₁）的范围，分类讨论，考查端点间的大小关系，求得a的范围．

解答 解：（1）由x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．可得sinx∈[-1，1]，∵函数f（x）=-sin²x+sinx+$\frac{1}{2}$=-${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$，
∴当sinx=$\frac{1}{2}$时，函数f（x）取得最大值为$\frac{3}{4}$；当sinx=-1时，函数f（x）取得最小值为-$\frac{3}{2}$，故f（x）的值域为[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$]．
（2）由x₁∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，f（x₁）∈[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$]；根据x₀∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，可得cosx₀∈[0，1]．
由题意可得f（x）的值域是g（x）值域的子集．
∴①当a＞0时，g（x₀）=acosx-2∈[-2，a-2]．
结合题意可得[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$]⊆[-2，a-2]，∴a-2≥$\frac{3}{4}$，∴a≥$\frac{11}{4}$．
②当a＜0时，g（x₀）=acosx-2∈[a-2，-2]，不满足[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$]⊆[a-2，-2]．
③当a=0时，g（x）=-2，不满足条件．
综上可得，a≥$\frac{11}{4}$．

点评 本题主要考查正弦函数、余弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．