Question

2．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若$\overrightarrow{OB}$=a₁₀₀₄$\overrightarrow{OA}$+a₁₀₀₅$\overrightarrow{OC}$，且A，B，C三点共线（该直线不过原点O），则S₂₀₀₈等于1004．

Answer 1

分析 根据条件，并由平面向量基本定理可得到a₁₀₀₄+a₁₀₀₅=1，而知道{a_n}为等差数列，根据前n项和公式即可求出S₂₀₀₈．

解答 解：A，B，C三点共线；
∴$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=k（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）$；
∴$\overrightarrow{OB}=（1-k）\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OC}$；
$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OC}$不共线，根据平面向量基本定理有：
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1004}=1-k}\\{{a}_{1005}=k}\end{array}\right.$；
∴a₁₀₀₄+a₁₀₀₅=1；
∴S=1004（a₁+a₂₀₀₈）=1004（a₁₀₀₄+a₂₀₀₅）=1004．
故答案为：1004．

点评 考查平面向量基本定理，共线向量基本定理，以及等差数列的通项公式及前n项和公式${S}_{n}=\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$．