Question

（2013•惠州一模）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右焦点到直线x-y+2

2

=0的距离为3．
（1）求椭圆方程；
（2）设直线l过定点Q(0，

3

2

)，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|BM|=|BN|．求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，易知b=1，设右焦点F（c，0），由条件得3=

|c-0+2 2 |

2

，可求得c值，根据a²=b²+c²，可得a值；
（2）易判断直线l斜率不存在时不合题意，可设直线l：y=kx+

3

2

(k≠0)，与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，则△＞0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点P（x₀，y₀），由|BN|=|BM|，则有BP⊥MN，所以kBP=

y0+1

x0

=-

1

k

，由韦达定理及中点坐标公式可得关于k的方程，解出k后验证是否满足△＞0，从而可得直线l的方程；

解答：解 （1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则b=1．
设右焦点F（c，0）（c＞0），则由条件得3=

|c-0+2 2 |

2

，得c=

2

．
则a²=b²+c²=3，
∴椭圆方程为

x2

3

+y2=1．
（2）若直线l斜率不存在时，直线l即为y轴，此时M，N为椭圆的上下顶点，|BN|=0，|BM|=2，不满足条件；
故可设直线l：y=kx+

3

2

(k≠0)，与椭圆

x2

3

+y2=1联立，消去y得：(1+3k2)x2+9kx+

15

4

=0．
由△=(9k)2-4(1+3k2)•

15

4

＞0，得k2＞

5

12

．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点P（x₀，y₀），
由韦达定理得x1+x2=-

9k

1+3k2

，而y1+y2=k(x1+x2)+3=-

9k2

1+3k2

+3．
则x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

由|BN|=|BM|，则有BP⊥MN，kBP=

y0+1

x0

=

y1+y2 2 +1

x1+x2 2

=

- 9k2 1+3k2 +5

- 9k 1+3k2

=-

1

k

，
可求得k2=

2

3

，检验k2=

2

3

∈(

5

12

，+∞)，所以k=±

6

3

，
所以直线l的方程为y=

6

3

x+

3

2

或y=-

6

3

x+

3

2

．

点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查分类讨论思想，判别式、韦达定理是解决该类题目常用知识，要熟练掌握，属中档题．