题目内容
如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,E、F分别在BC、AD上,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使得平面ABEF平面EFDC.
(Ⅰ) 当,是否在折叠后的AD上存在一点,且,使得CP∥平面ABEF?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(Ⅱ) 设BE=x,问当x为何值时,三棱锥ACDF的体积有最大值?并求出这个最大值.
(Ⅰ) (Ⅱ) x=3时有最大值,最大值为3
解析试题分析:(Ⅰ)存在使得满足条件CP∥平面ABEF,且此时. 2分
下面证明:
当时,即此时,可知,过点作MP∥FD,与AF交于点,则有
,又FD=,故MP=3,又因为EC=3,MP∥FD∥EC,故有MPEC,故四边形MPCE为平行四边形,所以PC∥ME,又CP平面ABEF,ME平面ABEF,故有CP∥平面ABEF成立. 6分
(Ⅱ)因为平面ABEF平面EFDC,平面ABEF平面EFDC=EF,又AFEF,所以AF⊥平面EFDC.由已知BE=x,,所以AF=x(0x4),FD=6x.故.所以,当x=3时,有最大值,最大值为3. 12分
考点:线面平行的判定及椎体的体积
点评:本题第一问求解时可采用空间向量法,以F为原点建立坐标系,写出点P的坐标(用表示)通过直线的方向向量与平面的法向量垂直得到值即可求出点P的位置
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