Question

（本小题满分14分）
已知函数满足,对于任意R都有,且
,令.
(1)求函数的表达式；
(2)求函数的单调区间；
研究函数在区间上的零点个数.

Answer 1

(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)
(1) 解：∵，∴.                                         …… 1分               
∵对于任意R都有,
∴函数的对称轴为，即，得.       …… 2分
又，即对于任意R都成立，
∴,且．
　　　　∵，     ∴．
　　　　∴．                                             …… 4分
(2) 解：            …… 5分
① 当时，函数的对称轴为，
若，即，函数在上单调递增；        …… 6分
若，即，函数在上单调递增，在上单调递减．
…… 7分
② 当时，函数的对称轴为，
　则函数在上单调递增，在上单调递减．  …… 8分
综上所述，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为
；                                                     …… 9分
当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为
和．                                        …… 10分
(3)解：① 当时，由(2)知函数在区间上单调递增，
　　　　　又，
　　　　　故函数在区间上只有一个零点．                      …… 11分
　　　　② 当时，则，而，
　　　　，
（ⅰ）若，由于，
且，
此时，函数在区间上只有一个零点；                    …… 12分
　　　　（ⅱ）若，由于且，此时，函数在区间  
上有两个不同的零点．                                         …… 13分
　　 　综上所述，当时，函数在区间上只有一个零点；
　　　　　　　 　当时，函数在区间上有两个不同的零点．   …… 14分

略