题目内容
(本小题满分14分)
已知函数
满足
,对于任意
R都有
,且
,令
.
(1)求函数
的表达式;
(2)求函数
的单调区间;
研究函数
在区间
上的零点个数.
已知函数







(1)求函数

(2)求函数

研究函数


(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)
(1) 解:∵
,∴
. …… 1分
∵对于任意
R都有
,
∴函数
的对称轴为
,即
,得
. …… 2分
又
,即
对于任意
R都成立,
∴
,且
.
∵
, ∴
.
∴
. …… 4分
(2) 解:
…… 5分
① 当
时,函数
的对称轴为
,
若
,即
,函数
在
上单调递增; …… 6分
若
,即
,函数
在
上单调递增,在
上单调递减.
…… 7分
② 当
时,函数
的对称轴为
,
则函数
在
上单调递增,在
上单调递减. …… 8分
综上所述,当
时,函数
单调递增区间为
,单调递减区间为
; …… 9分
当
时,函数
单调递增区间为
和
,单调递减区间为
和
. …… 10分
(3)解:① 当
时,由(2)知函数
在区间
上单调递增,
又
,
故函数
在区间
上只有一个零点. …… 11分
② 当
时,则
,而
,
,
(ⅰ)若
,由于
,
且
,
此时,函数
在区间
上只有一个零点; …… 12分
(ⅱ)若
,由于
且
,此时,函数
在区间
上有两个不同的零点. …… 13分
综上所述,当
时,函数
在区间
上只有一个零点;
当
时,函数
在区间
上有两个不同的零点. …… 14分
(1) 解:∵


∵对于任意


∴函数




又



∴



∵


∴

(2) 解:


① 当



若




若





…… 7分
② 当



则函数



综上所述,当




当






(3)解:① 当



又

故函数


② 当





(ⅰ)若


且


此时,函数


(ⅱ)若






上有两个不同的零点. …… 13分
综上所述,当



当



略

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