Question

（2008•临沂二模）已知点H（0，-3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

．
（I）当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设动点M的轨迹为C，如果过定点A（x₀，y₀）的直线与曲线C相交不同的两点S、R，求证：曲线C在S、R两点处的切线的交点在一条定直线上．

Answer 1

分析：（I）设P（a，0），Q（0，b）（b＞0），M（x，y）．利用

HP

•

PM

=0，即可得到a，b的关系，再利用

PM

=-

3

2

MQ

，即可用x，y表示a，b，进而得到点M的轨迹方程．
（II）解法一：设S(x1，

1

4

x

2 1

)，R(x2，

1

4

x

2 2

)(x1≠x2)，即得直线SR的方程，又A点在SR上，即可得到y0=

1

4

(x1+x2)x0-

x1x2

4

①
对y=

1

4

x2求导得：y′=

1

2

x．即可得到抛物线上S、R处的切线方程，联立解得x，y代入①得即可．
解法二：当过点A的直线斜率不存在时与题意不符．设直线SR的方程为y-y₀=k（x-x₀），与抛物线方程联立即可得到根与系数的关系．设S1(x1，

1

4

x

2 1

)，R(x2，

1

4

x

2 2

)(x1≠x2)，由过S，R点的切线方程联立可得交点的坐标，再利用根与系数的关系，即可得出．

解答：解：（I）设P（a，0），Q（0，b）（b＞0），
∵点M在直线PQ上，

HP

•

PM

=0，
∴

HP

•

PQ

=(a，3)•(-a，b)=-a2+3b=0，
∴a²=3b，

设M(x，y)，由 PM =- 3 2 MQ 得， (x-a，y)-= 3 2 (-x，-y+b)

∴

x-a= 3 2 x y= 3 2 (y-b)

∴

a= 1 2 x b= 1 3 y(b＞0)

∴y=

1

4

x2(x≠0)
点M的轨迹方程为y=

1

4

x2(x≠0)．
（II）解法一：设S(x1，

1

4

x

2 1

)，R(x2，

1

4

x

2 2

)(x1≠x2)，
则直线SR的方程为：y-

1

4

x

2 1

=

1 4 x 2 2 - 1 4 x 2 1

x2-x1

(x-x1)
即y=

1

4

(x1+x2)x-

x1x2

4

．
∵A点在SR上，
∴y0=

1

4

(x1+x2)x0-

x1x2

4

①
对y=

1

4

x2求导得：y′=

1

2

x．
∴抛物线上S、R处的切线方程为：y-

1

4

x

2 1

=

1

2

x1(x-x1)即y=

x1x

2

-

x 2 1

4

②
y-

1

4

x

2 2

=

1

2

x2(x-x2)即y=

x2x

2

-

x 2 2

4

③
联立②③，并解之得

x= x1+x2 2 y= 1 4 x1x2

代入①得
y0=

x0x

2

-y，即x0x-2y-2y0=0，
故切线的交点在定直线x₀x-2y=2y₀=0上．
解法二：当过点A的直线斜率不存在时与题意不符．设直线SR的方程为y-y₀=k（x-x₀）
代入抛物线方程得x²-4kx+4x₀k-4y₀=0．
设S1(x1，

1

4

x

2 1

)，R(x2，

1

4

x

2 2

)(x1≠x2)
由韦达定理

x1+x2=4k x1x2=4(x0k-y0)

（*）
又过S，R点的切线方程分别是：y=

x1

2

x-

x 2 1

4

，y=

x2

2

x-

x 2 2

4

∴两切线的交点为

x= x1+x2 2 y= 1 4 x1x2

，
代入（*）得

x=2k y=x0k-y0

(k为参数)，
消去k，得x₀x-2y-2y₀=0
故切线的交点在定直线x₀x-2y-2y₀=0上．

点评：熟练掌握向量的运算、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、导数的几何意义、切线方程等是解题的关键．