题目内容
【题目】已知函数,
,其中
,设
.
(1)如果为奇函数,求实数
、
满足的条件;
(2)在(1)的条件下,若函数在区间
上为增函数,求
的取值范围;
(3)若对任意的恒有
成立.证明:当
时,
成立.
【答案】(1),
;(2)
;(3)见解析
【解析】
(1)根据函数为奇函数,利用奇函数对应的表达式,得到关于的关系式,分析等式恒成立的条件即可得到
满足的条件;
(2)利用函数单调性的定义,求解出关于的不等式,即可求解出
的取值范围;
(3)由得到
间的不等关系,再根据作差法以及不等式的性质证明
在
时成立.
(1),设
的定义域为
,
∵为奇函数,∴对于任意
,
成立.
即:化简得:
,
因对于任意都成立,
∴,
即,
.
(2)由(1)知,
,
∵在
上为增函数,
∴任取时,
恒成立.
即任取时,
成立,
也就是成立.
∴,即
的取值范围是
.
(3)因为任意的恒有
成立,
所以对任意的,
,
即恒成立.
所以判别式,
从而,∴
,且
,
因此且
.
故当时,有
.
即当时,
成立.
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练习册系列答案
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【题目】空气质量指数PM2.5(单位:μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:
日均浓度 | ||||||
空气质量级别 | 一级 | 二级 | 三级 | 四级 | 五级 | 六级 |
空气质量类型 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测,获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示:
(Ⅰ)根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好?(注:不需说明理由)
(Ⅱ)在15天内任取1天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率;
(Ⅲ)在乙城市15个监测数据中任取2个,设X为空气质量类别为优或良的天数,求X的分布列及数学期望.