Question

4．设数列{a_n}前n项和为S_n，且满足a₁=r，S_n=a_n+1-$\frac{1}{32}（n∈{N^*}）$．
（Ⅰ）试确定r的值，使{a_n}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设b_n=log₂a_n，求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过n=1可得${a}_{2}={a}_{1}+\frac{1}{32}$，通过n≥2时，得a_n+1=2a_n（n≥2），利用等比数列的性质可得$r=\frac{1}{32}$，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）知b_n=n-6，分n＜6、n≥6两种情况讨论即可．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，${S_1}={a_2}-\frac{1}{32}，{a_2}={a_1}+\frac{1}{32}$，
当n≥2时，${S_{n-1}}={a_n}-\frac{1}{32}$，与已知式作差得a_n=a_n+1-a_n，即a_n+1=2a_n（n≥2），
欲使{a_n}为等比数列，则a₂=2a₁=2r，
又${a_2}={a_1}+\frac{1}{32}$，∴$r=\frac{1}{32}$，
故数列{a_n}是以$\frac{1}{32}$为首项，2为公比的等比数列，
所以${a_n}={2^{n-6}}$；
（Ⅱ）由（I）知b_n=n-6，∴$|{b_n}|=\left\{\begin{array}{l}6-n，n＜6\\ n-6，n≥6\end{array}\right.$，
若n＜6，${T_n}=-{b_1}-…-{b_n}=\frac{{11n-{n^2}}}{2}$，
若n≥6，${T_n}=-{b_1}-…-{b_5}+{b_6}+…+{b_n}=\frac{{{n^2}-11n}}{2}+30$，
∴${T_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{{11n-{n^2}}}{2}，n＜6\\ \frac{{{n^2}-11n}}{2}+30，n≥6\end{array}\right.$．

点评 本题考查等比数列的通项公式，前n项和公式，对数的运算，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．