Question

13．球O是四面体ABCD的外接球（即四面体的顶点均在球面上），若AB=CD=2$\sqrt{2}$，AD=AC=BD=BC=$\sqrt{5}$，则球O的表面积为9π．

Answer 1

分析 分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段，由条件可知，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，求出球的半径，然后求出球的表面积．

解答 解：分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段CE，ED，EF，由条件，AB=CD=2$\sqrt{2}$，AD=AC=BD=BC=$\sqrt{5}$，可知，△ABC与△ADB，都是等腰三角形，
AB⊥平面ECD，∴AB⊥EF，同理CD⊥EF，∴EF是AB与CD的公垂线，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，（△AGB≌△CGD）
DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{5-2}$=$\sqrt{3}$，DF=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{D{E}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{3-2}$=1，
∴GF=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$，
球半径DG=$\sqrt{G{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}+2}$=$\frac{3}{2}$，
∴外接球的表面积为4π×DG²=9π，
故答案为：9π．

点评 本题考查球的内接几何体，球的表面积的求法，考查计算能力．