题目内容

6.记S=1!2!…100!,有一个整数k,1≤k≤100,使$\frac{S}{k!}$是一个完全平方数,则k=50.

分析 由已知S=1!2!…100!=1100•299•398•497•596•…•983•992•100=(150•249•349•448•548•…•98•99)2•(2252•50!,可得答案.

解答 解:∵S=1!2!…100!=1100•299•398•497•596•…•983•992•100=1100•298•398•496•596•…•982•992•(2•4•6•…•100)=(150•249•349•448•548•…•98•99)2•(2252•(1•2•3•4•…•50),
∵(150•249•349•448•548•…•98•99)2•(2252是一个完全平方数,1•2•3•4•…•50=50!,
故当k=50时,$\frac{S}{k!}$是一个完全平方数,
故答案为:50

点评 本题考查的知识点是简单逻辑运算,本题转化比较困难,难度中档.

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