Question

（2007•长宁区一模）某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外，每生产1件这种产品还需要增加投入25元，经测算，市场对该产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t（单位：百件）时，销售所得的收入约为5t-

1

2

t2（万元）．
（1）若该公司这种产品的年产量为x（单位：百件）．试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y表示为年产量x的函数；
（2）当该公司的年产量x多大时，当年所得利润y最大？

Answer 1

分析：（1）由已知中某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外，每生产1件这种产品还需要增加投入25元，经测算，市场对该产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t（单位：百件）时，销售所得的收入约为5t-

1

2

t2（万元）．根据年利润=销售额-成立，构造出该公司生产并销售这种产品所得的年利润y表示为年产量x的函数．
（2）根据（1）的分段函数解析式，我们分别求出各段上函数的最大值，进而得到该公司当年所得利润y的最大值，及相应的生产量．

解答：解：（1）由题意得：
y=

(5x- 1 2 x2)-0.5-0.25x，0＜x≤5 (5×5- 1 2 ×52)-0.5-0.25x，x＞5

=

- 1 2 x2+ 19 4 x- 1 2 ，0＜x≤5 - 1 4 x+12，x＞5

（6分）
（2）当0＜x≤5时，函数对称轴为x=

19

4

=4.75∈(0，5)，
故x=4.75时y最大值为

345

32

．                                 （3分）
当x＞5时，函数单调递减，故y＜-

5

4

+12=

43

4

＜

345

32

，（3分）
所以当年产量为475件时所得利润最大．                     （2分）

点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，函数的值域，分段函数的解析式求法，二次函数的性质，其中（1）中要注意由于市场对该产品的年需求量为500件，故要分0＜x≤5，x＞5两种情况将问题转化为分段函数模型，（2）要注意分段函数最值，分段处理．