Question

19．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，所有棱长都是6，顶点A₁在底面ABC内的射影是△ABC的中心，则四面体A₁ABC，B₁ABC，C₁ABC公共部分的体积等于（　　）

• A． 6$\sqrt{2}$
• B． 6$\sqrt{3}$
• C． 12$\sqrt{2}$
• D． 12$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如图所示，设顶点A₁在底面ABC内的射影是△ABC的中心O，连接AO并且延长交BC于点D．可得AO=$\frac{2}{3}$AD．h=A₁O=$\sqrt{{A}_{1}{A}^{2}-A{O}^{2}}$．设AB₁∩A₁B=E，AC₁∩A₁C=F，
连接CE，BF，CE∩BF=P，则三棱锥P-ABC是四面体A₁ABC，B₁ABC，C₁ABC公共部分．又点P到底面ABC的距离d=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}h$=$\frac{1}{3}h$．S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}A{B}^{2}$．V_P-ABC=$\frac{1}{3}d{S}_{△ABC}$即可得出．

解答 解：如图所示，
设顶点A₁在底面ABC内的射影是△ABC的中心O，
连接AO并且延长交BC于点D．
∵AD=$3\sqrt{3}$，∴AO=$\frac{2}{3}$AD=2$\sqrt{3}$．
∴h=A₁O=$\sqrt{{A}_{1}{A}^{2}-A{O}^{2}}$=2$\sqrt{6}$．
设AB₁∩A₁B=E，AC₁∩A₁C=F，
连接CE，BF，CE∩BF=P，
则三棱锥P-ABC是四面体A₁ABC，B₁ABC，C₁ABC公共部分．
（∵EF是△A₁BC的中位线，∴$\frac{PN}{PM}$=$\frac{2}{1}$，∴PN=$\frac{2}{3}MN$=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}{A}_{1}N$=$\frac{1}{3}{A}_{1}N$）
又点P到底面ABC的距离d=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}h$=$\frac{1}{3}h$=$\frac{2}{3}\sqrt{6}$．
S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}A{B}^{2}$=$9\sqrt{3}$．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}d{S}_{△ABC}$
=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}\sqrt{6}$×$9\sqrt{3}$
=2$\sqrt{6}$．
故选：A．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、三角形中位线定理、平行线的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．