Question

【题目】如图，椭圆E： ，点P（0，1）在短轴CD上，且
（Ⅰ） 求椭圆E的方程及离心率；
（Ⅱ） 设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知，点C，D的坐标分别为（0，﹣b），（0，b）．
又点P的坐标为（0，1），且 ，即1﹣b2=﹣2，
解得b2=3．
∴椭圆E方程为 ．
∵c= =1，∴离心率e= ；
（Ⅱ）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A，B的坐标分别为（x1 ， y1），（x2 ， y2）．
联立 ，得（4k2+3）x2+8kx﹣8=0．
其判别式△＞0，
x1+x2= ，x1x2= ．
从而， =x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]
=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1
= = ﹣2λ﹣3，
当λ=2时， ﹣2λ﹣3=﹣7，
即 =﹣7为定值．
当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，
此时 = =﹣3﹣4=﹣7，
故存在常数λ=2，使得 为定值﹣7
【解析】（Ⅰ）由已知可得点C，D的坐标分别为（0，﹣b），（0，b）．结合 列式求得b，则椭圆方程可求，进一步求出c可得椭圆的离心率；（Ⅱ）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A，B的坐标分别为（x1 ， y1），（x2 ， y2）．联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B横坐标的和与积 ，可知当λ=2时， =﹣7为定值．当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，仍有 = =﹣3﹣4=﹣7，故存在常数λ=2，使得 为定值﹣7．