题目内容

11．若函数f（x）=$\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$，f（2）（x）=f[f（x）]，f（3）（x）=f（f（f（x））），则f（99）（1）=$\frac{1}{10}$．

分析 由已知中f（n）（x）=f[f（n-1）（x）]，函数f（x）=$\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$，逐项求出f（n）（1）并分析规律，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$，f（2）（x）=f[f（x）]，f（3）（x）=f（f（f（x））），…
∴函数f（1）=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
f（2）（1）=f（$\frac{1}{\sqrt{2}}$）=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
f（3）（1）=f（$\frac{1}{\sqrt{3}}$）=$\frac{1}{2}$，
f（4）（1）=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
…
∴f（n）（1）=$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，
∴f（99）（1）=$\frac{1}{\sqrt{99+1}}$=$\frac{1}{10}$，
故答案为：$\frac{1}{10}$．

点评 本题考查的知识点是函数的值，其中分析出f（n）（1）值的变化规律，是解答的关键．

练习册系列答案
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A．$3\sqrt{5}$B．$\sqrt{15}$C．3D．$\sqrt{5}$
2．在△ABC中，若AB=2，AC2-2BC2=1，则此三角形面积的最大值为$\sqrt{7}$．
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（2）若存在x1∈[1，2]，使得对任意的x2∈[$\frac{1}{2}$，1]，都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．
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A．22B．21C．20D．19
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A．RB．[0，+∞）C．（0，+∞）D．[1，+∞）
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A．y=-2x-1B．y=-2x+1C．y=2x-1D．y=2x+1

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