题目内容
【题目】设抛物线,
满足
,过点
作抛物线
的切线,切点分别为
.
(1)求证:直线与抛物线
相切;
(2)若点坐标为
,点
在抛物线
的准线上,求点
的坐标;
(3)设点在直线
上运动,直线
是否恒过定点?若恒过定点,求出定点坐标;若不存在,请说明理由;
【答案】(1)证明见详解;(2) (3)是,
【解析】
(1)联立直线方程与抛物线方程,由,即可证明;
(2)根据点在抛物线上解得
,进而写出
点坐标,再根据点
既在直线
上,又在抛物线上,联立方程组即可求得
的坐标;
(3)写出直线的方程,根据过点
和过点
的直线交于点
得到的结论,整理化简直线方程,即可求得
恒过的定点.
(1)联立直线与抛物线方程
,消去
可得
故,因为点
在抛物线上,
故
则直线与抛物线
只有一个交点
又因为,故该直线不与
轴平行,
即证直线与抛物线相切.
(2)因为点在抛物线
上,故可得
,解得
由(1)可知过点的切线方程为
,即
又抛物线的准线方程为,故令
,解得
,
即点的坐标为
.
因为过点的切线方程为
,其过点
故可得,又因为点
满足抛物线方程,
故可得,联立方程组可得
解得(舍去,与
点重合),
,
故点的坐标为
.
(3)由(1)得过点的切线方程为
令,可解得
过点的切线方程为
令,可解的
因为两直线交于点,故可得
整理得 ①
当过两点的直线斜率存在,则设其方程为:
整理得,将①代入可得
故直线方程为
故该直线恒过定点;
当过两点的直线斜率不存在时,
,代入①可得
过此时直线,也经过点
综上所述,直线恒过定点,即证.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】足球是世界普及率最高的运动,我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况,社会调查小组得到如下统计数据:
年份x | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
足球特色学校y(百个) | 0.30 | 0.60 | 1.00 | 1.40 | 1.70 |
(1)根据上表数据,计算y与x的相关系数r,并说明y与x的线性相关性强弱.
(已知:,则认为y与x线性相关性很强;
,则认为y与x线性相关性一般;
,则认为y与x线性相关性较):
(2)求y关于x的线性回归方程,并预测A地区2020年足球特色学校的个数(精确到个).
参考公式和数据:,
,
.