题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求
在
处的切线方程;
(2)设函数,函数
有且仅有一个零点.
(i)求的值;
(ii)若时,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1) (2)(ⅰ)a=1(ⅱ)
【解析】试题分析:(1)当a=﹣1时,函数f(x)=(x2﹣2x)lnx+ax2+2=(x2﹣2x)lnx﹣x2+2,求出f′(x),则k=f′(1),代入直线方程的点斜式可得切线的方程.
(2)①令g(x)=f(x)﹣x﹣2=0,则(x2﹣2x)lnx+ax2+2=x+2,即,构造函数h(x)=
,确定h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,可得h(x)max=h(1)=1,即可求a的值;
②当a=1时,g(x)=(x2﹣2x)lnx+x2﹣x,若,g(x)≥m,只需g(x)min≥m.
试题解析:
(1)当时,
,
,
∴
,又
∴在
处的切线方程
.
(2)(ⅰ)令,则
∴ 令
, 则
.
令,则
,
,
在
上是减函数 又
,
∴当时,
,当
时,
,
∴在
上单调递增,在
上单调递减,
,∴当函数
有且只有一个零点时,
.
(ⅱ)当,
,若
时,
恒成立,
只需
.令
得
或
,
,
函数
在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增.
又∵ ,
,即
.
∴,
.
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练习册系列答案
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一次购物款(单位:元) | |||||
顾客人数 |
统计结果显示位顾客中购物款不低于
元的顾客占
,该商场每日大约有
名顾客,为了增加商场销售额度,对一次购物不低于
元的顾客发放纪念品.
(Ⅰ)试确定,
的值,并估计每日应准备纪念品的数量;
(Ⅱ)现有人前去该商场购物,求获得纪念品的数量
的分布列与数学期望.