题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,如果方程
有两个不等实根
,求实数t的取值范围,并证明
.
【答案】(1)当时,
的单调递增区间是
,单调递减区间是
;当
时,
的单调递增区间是
,单调递减区间是
;(2)
,证明见解析.
【解析】
(1)求出,对
分类讨论,分别求出
的解,即可得出结论;
(2)由(1)得出有两解时
的范围,以及
关系,将
,等价转化为证明
,不妨设
,令
,则
,即证
,构造函数
,只要证明对于任意
恒成立即可.
(1)的定义域为R,且
.
由,得
;由
,得
.
故当时,函数
的单调递增区间是
,
单调递减区间是;
当时,函数
的单调递增区间是
,
单调递减区间是.
(2)由(1)知当时,
,且
.
当时,
;当
时,
.
当
时,直线
与
的图像有两个交点,
实数t的取值范围是
.
方程
有两个不等实根
,
,
,
,
,
,即
.
要证,只需证
,
即证,不妨设
.
令,则
,
则要证,即证
.
令,则
.
令,则
,
在
上单调递增,
.
,
在
上单调递增,
,即
成立,
即成立.
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着夏季的到来,冰枕成为市面上的一种热销产品,某厂家为了调查冰枕在当地大学的销售情况,作出调研,并将所得数据统计如下表所示:
表一:
温度在30℃以下 | 温度在30℃以上 | 总计 | |
女生 | 10 | 30 | 40 |
男生 | 40 | 20 | 60 |
总计 | 50 | 50 | 100 |
随后在该大学一个小卖部调查了冰枕的出售情况,并将某月的日销售件数(x)与销售天数(y)统计如下表所示:
表二:
第 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| 3 | 6 | 7 | 10 | 12 |
(1)请根据表二中的数据在下列网格纸中绘制散点图;
(2)请根据表二中提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
(3)从(1)(2)中的数据及回归方程我们可以得到,销售件数随着销售天数的增长而增长,但无法判断男、女生对冰枕的选择是否与温度有关,请结合表一中的数据,并自己设计方案来判段是否有99.9%的可能性说明购买冰枕的性别与温度相关.
参考数据及公式:
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
;
,其中
.