Question

【题目】已知函数

(1)判断函数的奇偶性，并说明理由

(2)讨论函数的零点个数

Answer 1

【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数(2)见解析

【解析】

（1）先确定定义域，再研究与关系，讨论函数奇偶性；（2）利用分离变量法化为函数，根据绝对值定义化为分段函数，结合函数图像确定函数零点个数

（1）当m=0时，函数f（x）=|x|﹣3，此时f（﹣x）=f（x）函数是偶函数；当m≠0时，∵f（1）=m﹣2，f（﹣1）=﹣m﹣2，∴f（﹣1）≠±f（1），函数是非奇非偶函数．

（2）由f（x）=0可得x|x|﹣3x+m=0（x≠0），

变为m=﹣x|x|+3x（x≠0）

令g（x）=3x﹣x|x|=

=，

作函数y=g（x）以及y=m的图象，可得：作y=g（x）的图象及直线y=m，由图象可得：

当m＞或m＜﹣时，f（x）有1个零点．

当m=或m=0或m=﹣时，f（x）有2个零点；

当0＜m＜或﹣＜m＜0时，f（x）有3个零点．