Question

【题目】已知函数 的定义域为R．
（1）求实数m的范围；
（2）若m的最大值为n，当正数a，b满足 时，求4a+7b的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数的定义域为R，|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|=6，∴m≤6．
（2）解：由（Ⅰ）知n=6，由柯西不等式知，4a+7b= = ，当且仅当 时取等号，∴4a+7b的最小值为 ．
【解析】（I）利用绝对值不等式的性质即可得出．（II）利用柯西不等式的性质即可得出．
【考点精析】关于本题考查的函数的定义域及其求法和绝对值不等式的解法，需要了解求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．