题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的离心率为 $数学公式$ ，并且直线y=x+b是抛物线C₂：y²=4x的一条切线．
（I）求椭圆C₁的方程．
（Ⅱ）过点 $数学公式$ 的动直线l交椭圆C₁于A、B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在求出T的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（I）由 $\text{[math]}$ 得x²+（2b-4）x+b²=0
直线y=x+b是抛物线C₂：y²=4x的一条切线．
所以△=0?b=1 $\text{[math]}$
所以椭圆 $\text{[math]}$ （5分）
（Ⅱ）当直线l与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为 $\text{[math]}$
当直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为x²+y²=1
所以两圆的切点为点（0，1）（8分）
所求的点T为点（0，1），证明如下．
当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点（0，1）
当直线l与x轴不垂直时，可设直线l为： $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 得（18k²+9）x²-12kx-16=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ ，即以AB为直径的圆过点（0，1）
所以存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T（13分）
分析：（I）先跟据直线y=x+b是抛物线C₂：y²=4x的一条切线，求出b的值，再由椭圆离心率为 $\text{[math]}$ ，求出a的值，则椭圆方程可得．
（Ⅱ）先假设存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点，再用垂直时，向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量积为0，得到关于直线斜率k的方程，求k，若能求出，则存在，若求不出，则不存在．
点评：本题考查了椭圆，抛物线与直线的综合运用，另外，还结合了向量知识，综合性强，须认真分析．